もえの医学部受験&問題出題ブログ

大学受験情報や問題の出題を主に行います。受験生のお役に立てれば幸いです。

問題の解説

第一問…平方完成するだけですが、ベクトルに惑わされないように。

図形的な解き方もありますが、なかなか高度です。

機会があったら別途解説します。

第二問…(1)は微分の定義に沿って解けばよいですが、(2)については

今回の問題の中では最も厄介であったかもしれません。

一般的には極値を取るかどうかの判定はその前後で符号が変化すること

を示すことが目標となりますが、この問題ではx=0の前後では符号が

無限回変化してしまい判定できません。ではどうするかというと、

極値の定義に戻ります。極値とはx0に非常に近い部分

(大学数学では近傍という)の任意の点xにおいて

f(x)≧f(x0)またはf(x)≦f(x0)を満たすときにx0  において極小または極大

となります。この問題における近傍は1変数関数のため、

0に限りなく近い値だと思ってよいです。したがって、

f(x)≧f(0)=0を示せばよいです。後は三角関数の性質を使いながら

示しましょう。

第三問…いわゆる最適化問題ですが、最大最小を求めたい式が

対称式なのでt=y/xとおくことが最初に気を付けるべきことです。

次に与えられた条件式からtの取りうる値の範囲を求めることになりますが、

xについての2次式がありますので、単純に求まりそうにないです。

そこで、最適化問題であることを思い出すと、領域上の点とt=y/xが共有点

を持つような範囲を求めます。接する時が最大であると見抜くことが重要です。

ちなみに相加相乗平均の関係を利用してtの取りうる範囲を求める方法もあります。

第四問…この問題は類題がそこそこの頻度で出題されていますが、

整数解の問題を玉の分け方と同一視することが重要で、そうすることで

見通しが立ちます。また、余事象を活用するのですが、

(2)では3つの条件が互いに両立しないことは明らかなので

排反であることからそれぞれの条件の場合を引くだけになります。

第五問…空間図形では対称性を考慮して切り口を考えます。

この問題は対称性のある部分が多いので計算量は少なく済みます。

座標を設定するなどの解法もありますが、回り道になります。

第六問…いわゆるカージオイドを回転した体積ですが、

対称性や曲線の形状に注意して計算しましょう。

比較的解きやすい問題ですが、細かい間違いに気を付けましょう。