医学部受験に勝つために!数学出題あります

大学受験情報や問題の出題を主に行います。受験生のお役に立てれば幸いです。

以前出題した問題の解答

「ある旅客機において医師がいる確率」の問題について、

解答は以下のようになります。

 

まず、日本全体に医師がどのくらいいるかについて考えます。医師になるには医学部の卒業は必須で、医学部の定員は数十年間の大幅な増減はないので、一定と見なします。日本の医学部の定員は約8000人(大学数が80くらいでそれぞれ100人前後のため)で、現役で医師を職業としている主な年齢層を25歳から69歳とします。ここで、医師国家試験の合格率は90パーセント程度ですが、90パーセントとして計算すると、8000×0.9×45=324000人となります。
この数が「推定」された人数ですが、実は統計で日本の医師の総数は319480人だそうなのでかなり近い値が出ます。

後は日本の人口を1億2500万人、旅客機の乗客数を350人(現在の主流の中型機の定員は大体300人から400人)とします。これらの条件から確率を求めるのですが、ここからが厄介です。題意は「旅客機の乗客の中に少なくとも1人の医師がいる確率」なので、いる確率を直接求めるのは大変!ここで考えを変えて、医師が一人もいない確率を最初に求めてからその確率を1から引くことで少なくともいる確率を求めることが出来ます。

では最初に一人もいない確率を求めます。実はこれも工夫が必要で、数学の問題として「普通」に求めると、(125000000人から医師の総数の324000人を除いた人数から350人を選ぶ組み合わせ)/(125000000人から350人を選ぶ組み合わせ)になりますが、計算が大変!関数電卓ですら計算できないレベルです。そこで近似値として求めます。計算方法を変更して、「日本人からランダムに一人選んだとき、その人物が医師でない確率」を求め、それを350回繰り返して求めると、((125000000-324000)/125000000の350乗)となりますが、関数電卓で計算すると0.40くらいになります。つまり40パーセントで医師が一人もいないので、少なくともいる確率は100パーセントから引いて60パーセントとなります。