萌葱は東大理3トップ合格の夢を見るか?

東大理3再受験のブログです。数学や理科の出題もしています。

有名問題について

この問題はあることに気づかなければ結構難しいです。

ちなみに1979年の学習院大学で出題された問題で、

まったくヒントも与えられなく、ただ、定積分の値を

求める問題です。

 

部分積分や置換積分を最初に思いつくかもしれませんが、

そのままではうまくいきません。

そこで、「積分区間の分割」です。

ちょうど-1から1までなので、

-1から0と0から1に分けると、なにか対称的なものになりそうです。

そこで、前者を符号を変えるように置き換えると、

積分区間が一致したうえで、分母が約分されます。

すると、解くことができます。

 

鋭い方なら積分区間が-1から1であることと、

分子が偶関数であることから、ピンとくるかもしれません。

実は一般的に分子が偶関数(=f(x)とする)で、分母が1+(aのx乗)で

積分区間が-tからtのとき、その積分は0からtのf(x)の積分

簡略化されます。(証明は有名問題が解ければ簡単です。)

 

恐らく今後出題されるとしたら、

さすがにノーヒントは厳しいので

何らかの誘導はつくかと思いますが、

このような問題があったということは

知っておいても損はないかと思います。