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萌葱は東大理3トップ合格の夢を見るか?

東大理3再受験のブログです。数学や理科の出題もしています。

数学の過去の問題を掲載します

全部で8問ありますが、6問を選択して150分で解答してみてください。

終わったら残りの問題もやってみましょう。(数Ⅲの問題あり)

 

1「nを2以上の自然数とする。1つのさいころをn回投げ、第1回目から第n回目

 までに出た目の最大公約数をGとする。

 このとき、次の問いに答えよ。

 (1) G=3となる確率をnの式で表せ。

 (2)Gの期待値をnの式で表せ。」

 

2「次の問いに答えよ。

 (1)関数f(x) = 2*(x^3) - 3*(x^2) + 1 のグラフをかけ。

 (2)方程式f(x) = a (aは実数)が相異なる3つの実数解α<β<γを持つとする。

  l=γ-αをβのみを用いて表せ。

 (3)aが(2)の条件のもとで変化するときのlの動く範囲を求めよ。」

 

3「さいころをn個同時に投げるとき、出た目の数の和がn+2になる確率を求めよ。」

 

4「実数 t が t>0 の範囲を動くとき、

 直線 y=2tx - t^2 の通過する範囲を求め、

 x-y平面上に図示せよ。」

 

5「x≧0であるどんな実数を代入しても、

 不等式k(x^3+1)≧(x+1)^3 (^の記号は累乗を表す)

 が成り立つような定数kの値の範囲を求めよ」

 

6「関数y=f(x)のグラフは座標平面で原点に対して点対称である。さらにこのグラフの

 x≦0の部分は軸がy軸に平行で点(-1/2,1/4)を頂点とし、原点を通る放物線と一致

 している。このとき、x=-1のおけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフ

 によって囲まれる図形の面積を求めよ。」

 

数Ⅲの問題です。

7「x>0 に対して、関数 f(x)=(logx)^2 を考える。

 y=f(x)のグラフをCとして、その変曲点をPとする。

 PにおけるCの接線をlとする。

 このとき、次の問いに答えよ。

 (1) f(x)の増減、Cの凹凸を調べて、Cおよびlの概形を同じ平面上にかけ。

 (2) Cとlおよびx軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。」

 

その8

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